Voyons maintenant quelques propriétés des points remarquables.
Théorème.

Soit D le pied de la bissectrice intérieure issue de A dans le triangle ABC (c'est-à-dire l'intersection de la bissectrice avec la droite ) et soit E le pied de la bissectrice extérieure issue de A, on a alors l'égalité suivante:

Démonstration. Exercice. CQFD.
Théorème.

Soit ABC un triangle inscrit dans le cercle de centre O. Soit I le centre du cercle inscrit, la seconde intersection de la bissectrice intérieure issue de A avec . Alors 1. les droites et sont perpendiculaires (donc M est le milieu de l'arc BC), 2. le cercle de centre passant par B et C passe également par le point I.

Démonstration. Exercice CQFD.
Théorème (Triangle orthique).

Soit les pieds des hauteurs issues respectivement des sommets d'un triangle acutangle (dont tous les angles sont aigus), soit H l'orthocentre de ce triangle, on a alors 1. les triangles , , sont directement semblables entre eux et indirectement semblables au triangle ABC, 2. les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices intérieures du triangle , appelé triangle orthique, 3. les symétriques de H par rapport aux trois côtés du triangle ABC appartiennent au cercle circonscrit à ABC.

Démonstration. Exercice CQFD.
Théorème (Cercle d'Euler).

Soit les milieux respectifs des côtés , les pieds des hauteurs issues de et les milieux respectifs de . Alors les neuf points appartiennent à un même cercle appelé cercle d'Euler, de centre milieu du segment et de rayon .

Démonstration. Soit le milieu de , le cercle de centre et de rayon . Soit h l'homothétie de centre G et de rapport . Elle envoie O en , donc le cercle circonscrit à ABC sur . Elle envoie A en , B en , C en , donc appartiennent à . Soit l'homothétie de centre H et de rapport , elle envoie O en , donc le cercle circonscrit à ABC sur . Elle envoie A en , B en , C en , donc appartiennent à . Soit la droite parallèle à passant par . Elle est perpendiculaire à , donc parallèle à . Comme est le milieu de , la droite est la médiatrice de , donc on a , donc appartient à . On montre de même que et appartiennent à . CQFD.


Les deux théorèmes suivants sont très utiles pour montrer que trois points sont alignés ou que trois droites sont concourantes ou parallèles.
Théorème (Ménélaüs).

Soit ABC un triangle et trois points pris respectivement sur les droites , , . Alors les points sont alignés si et seulement si on a où les longueurs sont considérées algébriquement.

Démonstration. Soit S l'intersection des droites et , T l'intersection de la parallèle à passant par C et de . Par le théorème de Thalès, on a d'où Par conséquent les points sont alignés si et seulement si on a , soit . CQFD.
Théorème (Ceva).

Soit ABC un triangle et trois points pris respectivement sur les droites , , . Alors les droites , , sont concourantes si et seulement si on a : où les longueurs sont considérées algébriquement.

Démonstration. Soit T le point d'intersection des droites et , soit S le point d'intersection des droites et . Le rapport des longueurs est égal par similitude de triangles au rapport des distances de B et C à la droite , lequel est alors égal au rapport des aires (ces triangles ont pour base AT et pour hauteurs les distances de B et C à la droite ). En utilisant le même argument pour les autres rapport, on obtient On applique alors le même argument que pour la démonstration du théorème de Menelaüs. Les trois droites concourent si et seulement si on a , soit , donc si et seulement si on a CQFD.
Il existe une variante trigonométrique du théorème de Ceva dont la démonstration est similaire.
Théorème (Ceva trigonométrique).

Soit ABC un triangle et trois points pris respectivement sur les droites , , . Alors les droites , , sont concourantes si et seulement si on a

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Problèmes


Exercice. Démontrer les trois théorèmes non démontrés du cours.


Exercice. Soient et deux cercles de rayons respectifs et se coupant en A et B, une droite quelconque passant par A. Soient C et D les points d'intersection respectifs de avec et . Calculer le rapport en fonction uniquement de et .


Exercice. Soit ABC un triangle et trois points pris respectivement sur les droites , , . On suppose que les trois droites se coupent en T, montrer qu'on a alors


Exercice. (Cercle d'Apollonius) Soit A et B deux points et k un réel différent de . Montrer que l'ensemble des points M du plan tels que le rapport soit égal à k est un cercle dont le centre appartient à la droite .


Exercice. (Points de Nagel et de Gergonne) Soit ABC un triangle, soient les points de contact du cercle inscrit avec les côtés , soit le point de contact du cercle exinscrit dans l'angle A au triangle avec le côté BC (le cercle exinscrit dans l'angle A est le cercle tangent aux trois côtés du triangle, mais se situant de l'autre côté de la droite par rapport au triangle). On définit de même les points et .

1) Montrer que les droites sont concourantes (point de Gergonne).

2) Montrer que les droites sont concourantes (point de Nagel, noté N).

3) Montrer que les points sont alignés dans cet ordre et qu'on a .

4) Soient les milieux des côtés de ABC. Montrer que le centre du cercle inscrit dans est le milieu du segment .


Exercice. Soit ABCD un parallélogramme tel que l'angle A est aigu. Le cercle de diamètre rencontre les droites et en E et F respectivement. La tangente au cercle en A coupe la droite en P. Montrer que les points sont alignés.


Exercice. Soit l une droite passant par l'orthocentre du triangle ABC. Montrer que les symétriques de l par rapport aux côtés du triangle passent par un même point, montrer que ce point appartient au cercle circonscrit à ABC.


Exercice. Soit ABC un triangle acutangle, soient L et N les intersections de la bissectrice interne de l'angle A avec et avec le cercle ciconscrit à ABC. Soient K et M les projections de L sur les côtés et . Montrer que l'aire du quadrilatère AKNM est égale à celle du triangle ABC.


Exercice. Montrer que les symétriques de chaque sommet d'un triangle par rapport au côté opposé sont alignés si et seulement si la distance de l'orthocentre au centre du cercle circonscrit est égale à son diamètre.


Exercice. Soit ABC un triangle, soit un triangle directement semblable à ABC de telle sorte que A appartienne au côté , B au côté et C au côté . Soit O le centre du cercle circonscrit à ABC, H son orthocentre et celui de . Montrer qu'on a .

c'est trop compliqué!

Triangle isocèle, équilatéral

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Un triangle est isocèle s'il admet deux côtés égaux. L'autre côté s'appelle la base.
Quelques propriétés des triangles isocèles :

• Les angles à la base sont égaux (la réciproque est vraie : si un triangle admet deux angles égaux, il est isocèle...)
  
• La médiatrice de la base est aussi la hauteur, la médiane issue du point opposé, la bissectrice de l'angle opposé...
  
• La médiatrice de la base est axe de symétrie du triangle. Réciproquement, si un triangle admet un axe de symétrie, il est isocèle.
  

Un triangle est équilatéral si ses 3 côtés sont égaux.
Bien sûr, les propriétés des triangles isocèles sont conservées, mais en outre on a :

• Les 3 angles sont égaux et valent 60 degrés.
  
• Les médiatrices sont les médianes, les hauteurs, les bissectrices.... En particulier, le centre de gravité est l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit, le centre du cercle inscrit....
  

Triangle rectangle

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Un triangle est rectangle s'il possède un angle droit. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle alors l'hypothénuse.
Quelques propriétés des triangles rectangles :

• La médiane relative à l'hypothénuse vaut la moitié de l'hypothénuse.
  
• Le cercle circonscrit au triangle ABC est le cercle de diamètre l'hypothénuse.
  
• Et bien sûr, la célèbre relation de Pythagore.... BC²=AB²+AC².