Par cocyclicité on a On déduit , par conséquent les quatre points C, P, T, Q sont cocycliques, donc T appartient au cercle circonscrit au triangle CQP. CQFD.
Il est important lorsqu'on calcule des angles de faire attention aux signes et à l'orientation des angles afin de ne pas écrire des choses vraies sur certaines figures mais fausses sur d'autres (voir exercice 17). En général, on écrit les relations qui sont vraies sur la figure qu'on a dessinée, et on vérifie qu'elles restent vraies sur les autres figures, ou au moins que des relations similaires restent vraies.
Un autre résultat important sur les cercles et les quadrilatères est le suivant.
Théorème (Ptolémée).

Soit ABCD un quadrilatère. On a l'inégalité suivante: avec égalité si et seulement si les points sont cocycliques dans cet ordre (ce qui signifie que les droites et se coupent à l'intérieur du cercle).

Démonstration. Soit E l'unique point du plan tel que les triangles ABE et ADC soient directement semblables (c'est-à-dire qu'il existe une similitude directe envoyant ABE sur ADC). On a , d'où . D'autre part on a et , donc les triangles ACE et ADB sont semblables, d'où . D'après l'inégalité triangulaire dans le triangle BCE on a avec égalité si et seulement si les points sont alignés dans cet ordre. En remplaçant BE et CE par les valeurs obtenues, on trouve l'inégalité de l'énoncé. L'égalité a lieu si et seulement si on a , donc si et seulement si les points sont cocycliques dans cet ordre. CQFD.
Une autre propriété importante qui découle de la première est ce qu'on appelle la puissance d'un point par rapport à un cercle.

Théorème (Puissance d'un point par rapport à un cercle).

Soit un cercle et un point P. Soit une droite passant par P et coupant le cercle en A et B (éventuellement confondus). Alors le produit ne dépend que de P et de , pas de la droite.

Démonstration. Soit une autre droite passant par P et coupant le cercle en C et D (voir figure). On a Les triangles PAC et PDB sont donc semblables (et d'orientations opposées), d'où , soit . CQFD.

Ici

Le produit est appelé puissance de P par rapport au cercle . Si O est le centre du cercle et r son rayon, on peut choisir comme droite et exprimer la puissance de P comme En général on utilise des longueurs algébriques, ce qui a pour conséquence que la puissance est positive si P est à l'extérieur de et négative si P est à l'intérieur. Le cas limite correspond au cas où la droite est tangente au cercle, par le théorème de Pythagore, on retrouve directement la valeur de la puissance en fonction de OP et de r.
La puissance d'un point par rapport à un cercle a une réciproque utile: si les droites et se coupent en un point P et qu'on a (avec des longueurs algébriques), alors A, B, C et D sont cocycliques.




D est l'axe radical des deux cercles
Soient deux cercles et de centres respectifs et de rayons respectifs et , une question naturelle est de se demander quel est l'ensemble des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles. On sait grâce à notre notre formule explicite qu'il s'agit de l'ensemble des points P vérifiant , soit . Par le théorème de Pythagore on montre que l'ensemble des tels points P est une droite perpendiculaire à l'axe appelé axe radical des deux cercles et . Si deux cercles se coupent en deux points A et B, alors leur axe radical est la droite . Si deux cercles sont tangents en un point A, alors leur axe radical est la tangente commune qui les sépare.
On a le théorème suivant sur les axes radicaux.
Théorème (Théorème des axes radicaux).

Soit , , trois cercles. Alors leurs trois axes radicaux , et sont soit confondus, soit concourants, soit parallèles.

Démonstration. Un point appartenant à deux axes radicaux au moins a même puissance par rapport aux trois cercles, donc il appartient au troisième axe. Donc soit et sont confondus et le sont donc avec , soit ils ont un seul point d'intersection et ils coupent donc en cet unique point, soit ils sont parallèles et leur est donc parallèle. CQFD.
Un résultat important pour la résolution d'exercices est le suivant: soient ABCD et CDEF deux quadrilatères inscrits dans deux cercles, si les droites , , sont concourantes alors les quatre points A, B, E et F sont cocycliques.

Problèmes


Exercice. Soit le cercle circonscrit au triangle équilatéral ABC. Soit M un point de l'arc d'extrémités B et C ne contenant pas A. Montrer qu'on a .


Exercice. Soit A et B les intersections de deux cercles et . Soit CD une corde de et E et F les secondes intersections respectives des droites CA et BD avec . Montrer que les droites et sont parallèles.


Exercice. (Droite de Simpson) Soit un cercle et trois points de . Soit P un point du plan, ses projections sur les droites . Montrer que les points sont alignés si et seulement si P appartient à .


Exercice. Soit et deux cercles se coupant aux points A et B. Soit une tangente commune à et , C et D les points de contacts de avec et . Soit M l'intersection des droites et , montrer qu'on a .


Exercice. Soit ABCD un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle de centre O. Soit P le point d'intersection de et . Les cercles circonscrits aux triangles ABP et CDP se recoupent en Q. Si sont distincts, prouver que est perpendiculaire à .


Exercice. Soit un triangle et P un point. On définit , , comme les projections orthogonales de P sur les droites , , . On définit de même les triangles et . Montrer que les triangles et sont semblables.


Exercice. Soit , , , quatre cercles. On suppose que et se coupent en et , que et se coupent en et , que et se coupent en et et que et se coupent en et . Montrer que si les points , , , sont cocycliques, alors les points , , , le sont également.


Exercice. Soit ABC un triangle quelconque et H son orthocentre. Soient deux points M et N pris respectivement sur les côtés AB et AC. Les cercles de diamètres BN et CM se coupent en P et Q. Montrer que les points sont alignés.


Exercice. (OIM 1995) Soit quatre points distincts placés dans cet ordre sur une droite. Les cercles de diamètres AC et BD se coupent en X et Y. La droite coupe en Z. Soit P un point distinct de Z sur la droite . La droite coupe le cercle de diamètre AC en C et M, et la droite coupe le cercle de diamètre BD en B et N. Prouver que les droites AM, DN, XY sont concourantes.


Exercice. (Théorème de Pascal) Soit ABCDEF un hexagone inscrit dans un cercle. Soient les intersections respectives des droites et , et , et . Montrer que les points sont alignés. (Pour les plus courageux, montrer le même résultat pour sur une conique quelconque!)

Gwen tu aime la Géométrie.